ПЕСОЧНИЦА - место для Ваших экспериментов!

Способы решения логических задач

Материал из ИнтеВики — обучающей площадкой для проведения тренингов программы Intel
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Несколько слов в качестве вступления

Вернуться на страницу сетевого проекта

Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать случая сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль


Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики - нет ни чисел, ни функций, ни треугольников, ни векторов, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них чувствуется ярче всего - половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами.

Есть люди, для которых решение логической задачи - увлекательная , но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу он приходит необычайно быстро. Замечательно, что при этом он и не могут объяснить, как они пришли к решению. "Ну это же очевидно, ясно", - говорят они. "Ведь если ... " - и они начинают легко распутывать клубок противоречивых высказываний. "Действительно, все ясно", - говорит слушатель, огорченный тем, что он сам не увидел очевидного рассуждения. Согласитесь, что такое же ощущение часто возникает при чтении детективов.

Итак, мы узнаем, как разными способами можно решать логические задачи. Оказывается таких приемов несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения. На этой странице вы узнаете кое-что об этих приемах. Познакомившись подробно, поймете в каких случаях удобнее использовать тот или другой метод. Кроме этого, работая над заданиями по пректу вам придется познакомиться с основными понятиями направления "математики без формул" - математической логики, узнать о создателях этой науки и об истории ее становления.


БаженовИИРисунок2.jpg

Как научиться решать логические задачи?

БаженовИИРисунок4.GIF

Многие люди только мыслят, что мыслят. Им неприятен мыслительный процесс:для этого нужен навык и известные усилия, а зачем усилия, когда можно без.

Огден Неш

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Перед Вами будет поставлены следующие задачи:

      • Познакомиться с основными способами решения логических задач;
      • На примерах конкретных задач выяснить: Какие методы более эффективные?
      • Подготовить презентацию к докладу на тему: Как я решаю логические задачи?
      • Подготовить подборку наиболее интересных задач для стенной газеты в раздел «Конкурс».



Основные приемы и методы решения логических задач

Теория, мой друг, суха, но зеленеет жизни древо.

И.В.Гете

Известно несколько различных способов решения логических задач. Давайте назовем их так:

      • Метод рассуждений;
      • Метод таблиц;
      • Метод графов;
      • Метод блок-схем;
      • Метод бильярда;
      • Метод кругов Эйлера.

Остановимся отдельно на каждом из выделенных методов, иллюстрируя их примерами решения конкретных задач.

БаженовИИРисунок5.gif

Метод первый: Метод рассуждений

БаженовИИСодержание.gif

На всякого мудреца довольно простоты.

Пословица

Способ рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи. Познакомиться с этим методом можно на следующем примере.

Метод второй: Метод таблиц

БаженовИИСодержание.gif

Сначала приговор, потом доказательство.

Л.Керролл

Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. Приглашаем познакомиться с примером решения конкретной задачи методом таблиц.

Метод третий: Метод блок-схем

БаженовИИСодержание.gif

Как без математических наук проводит свои линии паук.

А.Поуп

В этом разделе рассматривается еще один тип логических задач. Это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

Более систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Здесь приводится два примера решении задачи на переливание и на взвешивание. Примеры решения задач.

Метод четвертый: Метод математического бильярда

БаженовИИСодержание.gif

Прежде чем решать задачу, подумай, что делать с ее решением!

Д.Пойа

Надеемся, что Вам известна игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны – упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни "исчисление" вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий.

В этом разделе мы приведем одно изящное применение математического бильярда к решению задач на переливание. Загляните обязательно в приготовленный нами премер решения задач с помошью игры в бильярд. Примеры решения задач.



Предмет математической логики и его основоположники

Самое прекрасное, что мы можем испытать – это ощущение тайны. Она есть источник всякого подлинного искусства и науки.

Альберт Эйнштейн


РисунокОни.jpg

Слово "логика" греческого происхождения. Логика как наука основана Аристотелем (384-320 гг до н.э.), который был необыкновенной фигурой в целой плеяде блестящих греческих ученых. Он был последователем Платона и посещал его Академию в Афинах. После смерти Платона (347 г.до н.э.) Аристотель покинул Афины. Он вернулся туда 12 лет спустя и основал свою школу - Лицей. Одним из учеников Аристотеля был Александр Великий.

Аристотель не был математиком в полном смысле этого слова, его логика является скорее частью философии, но эта часть - основа всех наук. В своем выдающемся произведении "Аналитики" Аристотель создал и проверил около 20 схем рассуждений, которые назвал силлогизмами. Процитируем самый известный силлогизм: "Сократ - человек; все люди смертны; значит Сократ смертен". После Аристотеля силлогизмы и их трансформации стали основой дедуктивных рассуждений. Галилей говорил, что если бы ему пришлось начать снова свое будущее, то он последовал бы совету Платона и "принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное то, что вытекает как следствие из доказанного".

Готфрид Лейбниц в начале 18 века сделал попытку создать формальную логическую систему, введя законы сочетания высказываний. Он высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам: "Можно придумать некий алфавит человеческих мыслей, и с помощью комбинации букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть открыто и разрешимо". Но эти работы не были опубликованы, и лишь в 19 веке Джордж Буль и Август де Морган основали математическую логику, независимую от философии.

Назовем известнейшие работы Буля (1815-1864): "Формальная логика", "Исследование законов мысли". Буль вводит в логику алгебраическую структуру, называемую сегодня кольцо Буля, две операции, свойства которых в чем-то подобны свойствам операции с числами (например, 1+0=1), и в чем-то расходятся с ними (например, 1+1=1). Это позволило описать логику высказываний как формальную алгебраическую структуру.

Другой математик, А.де Морган, ввел кванторы (не называя их) и сделал попытку формального определения структур, продолжив работу, начатую Булем.

Более подробную информацию можно найти по ссылкам логика и Математическая логика


Копилка интересных задач и головоломок

Рассеянный, спокойный, как математик…

Анатоль Франс

Наверное каждый человек встречался в жизни хотя бы с одной задачей или головоломкой, которая ему понравилась и запомнилась... В рамках работы над проектом мы решили провести акцию: "Моя любимая задача". Обращаемся ко всем гостям нашей странички заглянуть в блог , который мы создали и оставить в нем сообщение о Вашей любимой задаче. Будем очень благодарны!

Кроме этого мы приготовили небольшую подборку задач, которые могут быть использованы нашей командой при подготовке к олимпиаде и к математическому бою. Вот эти задачи!

И, наконец, вот образцы заданий, которые могут быть использованы в конкурсе "Математический бой". Он скоро состоится - тренируйтесь!

БаженовИИГолубь.jpg




Рекомендуемые источники и ресурсы

В математике нет символов для неясных мыслей

А.Пуанкаре


При работе над проектом можно использовать различные источники. Хочу особо отметить замечательную подборку интересных задач, подготовленную известным российским математиком Владимиром Игоревичем Арнольдом. Вот ссылка на эту книгу. Она называется "Задачи для детей от 5 до 15 лет"

Мы также приводим список книг, которые были изданы в нашей стране и посвящены популярной математике. Этот список, конечно, далеко неполный, но в нем собраны основные книги, на которых выросло не одно поколение школьников. Вот этот список книг, посявященных занимательной математике. Надеемся, он будет полезен и вашим учителям математики.

БаженовИИИстоки.gif

Задания первого модуля

БаженовИИГлобус.jpg

Математические науки, естественные науки и гуманитарные науки могут быть названы, соответственно, науками сверхъестественными, естественными и неестественными.

Лев Ландау

ЗДЕСЬ БУДУТ СФОРМУЛИРОВАНЫ КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МОДУЛЮ




Вернуться на страницу сетевого проекта

Персональные инструменты
Образовательная галактика Intel Программа Intel 'Обучение для будущего' Программа 'Учимся с Intel' Летописи России Инициативы Intel в образовании