ПЕСОЧНИЦА - место для Ваших экспериментов!

Площади четырёхугольников в нашей практической жизни?

Материал из ИнтеВики — обучающей площадкой для проведения тренингов программы Intel
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Название проекта

Как знания о площадях фигур могут помочь в жизни?

Авторы и участники проекта

Тулешова Диля Муратовна - руководитель проекта, учитель математики.

Авторы: учащиеся 8 класса

Тема исследования группы

В каких сферах деятельности человека применяются теоретические знания о площадях фигур?

Актуальность темы

Материальные потребности людей побуждали к возникновению первых геометрическхе понятий. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее богатства. В процессе практической деятельности он накапливал геометрические сведения. Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств.

Гипотеза исследования

Важны ли так теория и знание точных формул площадей для практической жизни человека?

Цели исследования

Проследить историю и предпосылки развития геометрических сведений

Задачи исследования - узнать:

1.Каково происхождение понятия «площадь»;

2.Какой древнегреческий математик много сделал в области нахождения площадей;

3.Актуальны ли знания древних математиков в современном мире?

Результаты исследования

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений. Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука.

Многие факты геометрии были известны древним грекам две с лишним тысячи лет назад. Другие древние народы — египтяне, вавилоняне, китайцы, народы Индии — в третьем тысячелетии до нашего летосчисле¬ния имели сведения по геометрии и арифметике, которых не хватает не-которым ученикам пятого или шес¬того класса. Древние египтяне были замечательными математиками и инженерами (известные всем египетские пирамиды). Ясно, что строители пирамид должны были и знать и уметь очень много!

Кроме замечательных построек- пирамид, храмов и дворцов,— до нас дошли многие записи и даже большие рукописи, сделанные древними египтянами. В Лондоне хранится математический папирус, он называется «Наставление, как достигнуть знания всех тёмных рещей, всех тайн, которые скрывают в себе вещи... По старым памятникам писец Ахмес написал это». В папирусе Ахмеса даётся решение 84 задач на различные вычисления, которые могут понадобиться на практике.

То, что египтяне отлично, для своего времени, знали геометрию, рассказывают другие документы, да и сами замечательные египетские постройки. Самое слово «геометрия» по-гречески означает «землемерие». Учёные считают, что эта наука зародилась ещё у самых древних египетских земледельцев. После каждого разлива Нила им приходилось заново разбивать поля на участки, находить их границы. А для этого надо было уметь измерять площади различных фигур: ведь поле может иметь какую угодно форму. Особенно тщательно поля измеряли чиновники фараонов, которые собирали с земледельцев налоги. Чем же и как мерили землю древние египтяне? Главной мерой длины у египтян служил локоть. Локоть делился на семь «ладоней», «ладонь» — на четыре «пальца». Как и многие другие народы, в качестве мерок длины египтяне использовали части че¬ловеческого тела. Но люди бывают разного роста, и локти у них не одисложное. Надо измерить длину и ши¬рину поля, а потом их перемножить. Например, длина десять локтей, а ши¬ рина восемь. Значит, на этом участке можно уложить 80 квадратов со стонаковые. Потребность в построении изображений по законам геометрии (проекционных чертежей, "projecere"- бросать вперед) возникла из практических задач строительства сооружений, укреплений, пирамид и т.д.), а на позднем этапе - из запросов машиностроения и техники. Возникали и другие практичесике задачи.

Например, площадь поля — как её измерить?

Если участок земли квадратный или прямоугольный, то это дело нероной в локоть. Его площадь — во¬ семьдесят квадратных локтей.

И египетские землемеры научились измерять площадь треугольника. Они рассуждали примерно так. Если в прямоугольнике провести прямую линию через два противоположных угла, то получится два оди¬наковых треугольника с прямыми углами. Площадь каждого из них вдвое меньше площади прямоугольника, из которого они получились. Значит, для того чтобы узнать площадь прямоугольного треугольника, надо измерить те его стороны, которые образуют прямой угол, перемножить длину их и от того, что получится, взять половину любого треугольника равна поло¬вине произведения основания на высоту. 00 clip image0581.jpg

Египетским математикам удалось решить и другую, гораздо более трудную задачу. Они нашли способ, хоть и приблизительно, вычислить площадь круга по его поперечнику (диаметру): за величину площади круга брали площадь квадрата поперечника круга. Проверка показывает, что правило египтян даёт недостаточно точный для практики результат. Египтяне это знали и установили другое, более точное правило: площадь круга равна площа¬ ди такого квадрата, сторона которого есть % поперечника круга.

Но кто и когда ввёл понятие площади? Площадью называется величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Древние вавилоняне полагали, например, что площадь всякого четырехугольника равна произведению полусумм противоположных сторон. Формула явно неверна: из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов с равными сторонами одинаковы. Между тем очевидно, что у таких ромбов площади зависят от углов при вершинах. Но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников.

Возникает вопрос как сейчас могут помочь нам знания о площадях фигур в практической жизни?

Когда каменщики определяют площадь прямоугольной стены дома, они перемножают высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Поэтому можно, исходя из формулы площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Например, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольники равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, нетрудно доказать, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции-произведению полусуммы оснований на высоту.

Иначе можно вывести и формулу площади трапеции, разбивая ее на треугольники. Путем разбиения на треугольники нетрудно определить площадь любого многоугольника, поэтому известны точные формулы площади для правильных многоугольников. Математики античности и средневековья вычисляли площадь круга, рассматривая ее как предел площадей вписанных в этот круг и описанных около него правильных многоугольников, число сторон у которых удваивается неограниченно.

Когда же приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток - с недостатком. С уменьшением размеров плиток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее.

Этот прием применяется и на практике, правда не строительной. Фигуру, площадь которой требуется измерить, вычерчивают на миллиметровой бумаге и подсчитывают сначала число укладывающихся в границы фигуры сантиметровых квадратиков, потом миллиметровых... Если бы существовала миллиметровая бумага с делениями, кратными сколь угодно высокой степени десятки, такая процедура, продолженная неограниченно долго, приводила бы к точному значению площади. Методы нахождения площадей произвольных фигур дает интегральное исчисление. Существуют и механические приборы для вычисления площадей плоских фигур так называемые планиметры.

Кроме восстановления границ земельных участков существовали практические потребности вычисления их площадей. Это породило новый класс задач, решение которых требовало оперирования с чертежами. В этом процессе были выделены основные геометрические фигуры – треугольник, прямоугольник, трапеция, круг, через комбинации которых можно было изображать площади земельных участков сложной конфигурации.

В древнеегипетской математике были найдены способы вычисления площадей основных геометрических фигур, и эти знания стали применяться не только при измерении земельных участков, но и при решении других практических задач, в частности при строительстве различных сооружений.

Выводы

Окружающий нас мир состоит из различного сочетания плоских и объемных фигур. В какой бы сфере не работал человек, работает ли он с природным материалом, конструирует ли различные сооружения, работает в астрономии, он должен знать свойства геометрических фигур и тел, уметь находить их объемы, площади, измерения… Эти умения и навыки необходимы человеку в его повседневной деятельности.

Знание геометрии и умение применять эти знания на практике полезно в любой профессии. Традиционно построения на местности производят геодезисты для съемки плана земельного участка, измерения его площади и строители для закладки фундаментов. Однако, знания о свойствах фигур, об их площадях бывают довольно часто нужны и в других областях деятельности: строительстве, архитектуре, геологии, агрономии и т.д.

Hyru2.png

Полезные ресурсы

[1]

[2]

[3]

Другие документы

Персональные инструменты
Образовательная галактика Intel Программа Intel 'Обучение для будущего' Программа 'Учимся с Intel' Летописи России Инициативы Intel в образовании